のんびりmathematicー数学主婦のブログ

大学院まで数学を専攻していた主婦によるのんびりブログ

本ブログのやくわりなど

色んなところで数学を、「出たとこ勝負!」で教えている主婦のブログです。
大学院まで数学を専攻してましたが、数学者ではないので、よく間違え、よく見誤ります。ごめんなさい。
 
〈やくわり①〉
私の「ネタ帳&備忘録」として。
ルーズリーフに「今日教えること」等をメモしておくのですが、毎回のように、そのルーズリーフメモを「教えてる相手に差し上げてしまう」癖があります。なので、これはもうwebの力を借りて記録するしかないと思いました。
 
〈やくわり②〉
あわよくば誰かに見て頂いて、あわよくば誰かの役に立ってほしい。
特に、様々な事情で学校や予備校等に通えない人、学び直しをしてみたい人などに向けて書きたいと思います。
 
〈やくわり③〉
ねこの写真等も、載せたいです。
 
 
2017/9 まずは、高校数学を中心に整理していこうと思います。
2017/10 「今日の数式」をスタートしました。

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炎上しそうで怖いですが、Twitterはじめました!

お手柔らかに、お願いいたします…。

 

日常をさらしていくことに、怯えています…!!

 

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2017/12/9 今日の数式〜虚数とブラックホールで、人生は夢だらけ!

留数定理

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ブラックホールの研究に使う、と聞いたことがあります。

 

私の大好きな定理の一つ。

 

複素解析」という、端的に言えば、「複素数平面上で微分積分しましょうよ」という分野を学ぶと、出てくる定理。

 

複素数虚数を含みます。

2乗すると、-1になる数です。iです。

 

複素数平面での積分経路って、

うねうね くるくる しゅるしゅる

してます。

 

それは、まるで、

 

走り回っちゃって、全然つかまらない子どものような、

悩みすぎて、自分の考えがぐちゃぐちゃしてるときのような、

道に迷って、変な道を行ったり来たりしてるような、

 

そんな感じです。

 

そんな「よくわからない」複素解析ですが、

定理は、流れ星のようにピカピカきれいで、研ぎ澄まされています。

 

「くるくる遠回りしてみたら?ピカピカの宝物が見つかるよ!」って、教えてくれてるようです。

 

 

突然ですが、

youtu.be

 

人生は夢だらけ。

 

私たちは自由だ!

酸いも甘いも、たくさんあって、自由!

そして、夢だらけ!

 

虚数も、ブラックホールも、ここにある自由さ。

うねうね くるくる しゅるしゅる と。

遠回り上等。

どんとこいや。とことんつきあうぞー!

塩狩峠レビュー~宗教と、数学と、ミルグラム実験の残酷さと、行動原理と

「数学は宗教だ」

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と、大学3年生のとき、ある授業で先生が言いました。

そのときのことは、10年以上経った今も、ありありと覚えています。

 

---------------

 

数学は哲学だ、と言われるけれど違います。

哲学は、定義することを目的にした学問だからです。

 

数学は、定義から始める学問です。

定義から始めるのは、宗教です。

 

私たちは「√2がある」「数学は存在する」という信仰の下で、数学をしているのです。

 

---------------

 

なんて、説得力のある話なんだ…!と思って、二十歳そこそこの私は、めちゃくちゃ感動したのでした。

 

数学は「公理」というものからスタートします。

自然数(1,2,3,4…)を構成するときも、「1の存在」等を、証明無しで認めるのです。

 

数学には、「なぜ?」を問わないスタート地点があり、そこから、論理で繋いで、定理や公式等の結果を導いていきます。

 

***

名作「塩狩峠

塩狩峠 (新潮文庫)

塩狩峠 (新潮文庫)

 

 主人公の中野信夫がキリスト教に目覚めていく様を、ありありと描いています。

 

とても有名な話なので、ラストについて書いてしまいますが、

列車事故に巻き込まれた中野信夫は、自分を犠牲にして、乗客全員を迷うことなく救うのです。

 

信仰に目覚め、誰もが「人格者」と認める人間になっていく主人公。

最終的に、自分の命と引きかえに、多くの人の命を救います。

 

驚くことに、この小説は実話を基にしています。

 

 

この物語から、私が感じたのは、

「私も、こんな素晴らしい人になりたい!」という感想ではなく、

宗教行動原理のことについて、です。

 

*** 

どんな行動原理を持つべきか。

これからの「正義」の話をしよう (ハヤカワ・ノンフィクション文庫)

これからの「正義」の話をしよう (ハヤカワ・ノンフィクション文庫)

 

 ハーバード大学教授のマイケル・サンデルが語る、有名な例。

ロッコ問題を思い出します。

 

ddnavi.com

 

「トロッコ問題」とは――「暴走する路面電車の前方に5人の作業員がいる。このままいくと電車は5人をひき殺してしまう。一方、電車の進路を変えて退避線に入れば、その先にいる1人の人間をひき殺すだけで済む。どうすべきか?」……つまり「5人を救うために1人を犠牲にすることは許されるのか?」という問題である。※(電車は止められず、線路上の人たちは逃げられない状況とする)

 

ベンサム功利主義的に考えれば「最大多数の最大幸福」を選択するべきで、量的判断をするので、「1人をひき殺す」が正解になります。

 

しかし、この答え、若干モヤモヤしませんか?

 

どんな行動原理を持つべきなのか。何が正解なのか。

 

「善とは何か?正義とは何か?」と気になってきます。

このような問いに対し、哲学者の方たちが、様々に考えを巡らせ続けているのだと思います。

 

***

 

服従の心理 (河出文庫)

服従の心理 (河出文庫)

 

 そして、ミルグラム実験アイヒマン実験)。

衝撃的な実験です。

 

ナチスユダヤ人虐殺を筆頭に、組織に属する人はその組織の命令とあらば、通常は考えられない残酷なことをやってしまう。権威に服従する際の人間の心理を科学的に検証するために、前代未聞の実験が行われた。通称、アイヒマン実験―本書は世界を震撼させたその衝撃の実験報告である。

 

↓実験内容の詳しくは、こちら。

ミルグラム実験 - Wikipedia

 

ある特殊な状況下の中で、ごくごく普通の人が、

「何の罪もない一般人に電気ショックを与え続けろ」と命令されます。

しかも、その電気ショックの電圧は、徐々に上げられていくのです。

 

通常の判断では、「そんなひどいこと、できない」と思えます。私たちは。

 

しかし、実験結果では、

実際の実験結果は、被験者40人中25人(統計上62.5%)が用意されていた最大V数である450ボルトまでスイッチを入れた、というものだった。中には電圧を付加した後「生徒」の絶叫が響き渡ると、緊張の余り引きつった笑い声を出す者もいた。

 

ある場の「権威」が確定されると、私たちは「自分の意志」「道徳的判断」を、「権威」へ委譲してしまいます。

 

これは、ハンナ・アーレントの言う「悪の凡庸さ」を裏付ける心理学実験でした。

hentenna-project.com

 

このミルグラム実験の中で、「そんなことはできない」と途中でハッキリ断った人の一人が、確か、敬虔なキリスト教信者の方であったと記憶しています。

(図書館で借りて読んだため、手元に本がないのが残念…)

 

そのことが、塩狩峠の中野信夫に重なりました。

 

***

宗教は、様々な行動原理を定めているようです。

(私は、お葬式のときにしか「仏教」のことを意識しない人間かつ無勉強なので、詳しいことはわかりません…)

 

「神?え?科学的根拠は?」なんて、そんな批判は受け入れません。

 

その在り様は、「科学」の土台となる「数学」に似ています。

 

数学は、まず公理から始めます。

無批判に受け入れます。証明不要です。

 

***

日本では、嫌厭されることもある「宗教」ですが、とても歴史が長いですよね。

恐らく、本当に要らないものならば、今はもう、ないはずです。

 

でも、未だ、きちんと、存在してます。

 

その理由は、理系の私には、よくわかりません。

 

 

あくまで予想ですが……

 

社会を構成し、維持していくために、「ギブアンドテイク」のような功利的判断だけでは語れない「行動原理」が、やっぱり必要である。トロッコ問題が指摘しているように。

 

その「行動原理」を、できるだけ、現実社会に上手く適用できるようにするために、どのように定めるべきか。

 

宗教では、そうのような「行動原理」を、実に巧妙に定めているのではないのだろうか…

 

と思います。

 

数学が、「数学をおしすすめていく」のに適した「公理」を、巧妙に定めているように。

 

 

中野信夫の信仰に目覚めていく人生を概観し、そんなことを考えたのでした。

 

 

数学の学び直し、何から始めればいいの??~オススメの第一歩目はコレ!!

昔、数学を諦めてしまったのですが、

学びなおしって、何からやったら良いですか?

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この質問、プライベート含め、すっごーーーーーーく頻繁に聞かれます。

 

なので、「これが良いんじゃないかなあ」という道すじを、少しだけ紹介していこうと思います!

 

偉そうなこと言える立場ではありませんが、どなたかの役に立てば幸いです…!

 

1.目指すレベルは??

その前に…「どのくらい、できるようになりたいのかなあ??」と、良かったら自問自答してみてください☆

 

①触れる程度・教養レベル

 

②中高数学の教科書が理解できるレベル

 

③大学受験に受かるレベル

 

④大学以降の数学も取り組めるレベル

 

などなど、色々あると思います。

 

正直、①以外は、

それなりの努力を必要とします!!

 

ピアノで言えば、②は「バイエル・ツェルニーソナチネが、一応弾ける」みたいなものだと思います。

 

スポーツで言えば(私は運動できません)、「一応、何らかの試合に出て戦える」みたいなものだと思います。

 

ピアノだったら、指の練習を毎日する等しなければなりませんよね。

スポーツだったら、筋トレや走り込み等しなければなりませんよね。

 

「それなりに問題が解ける」という状態に持っていくためには、一部の「天才!」みたいな人を除いて、それなりには頑張らなければならないのだ…ということは、良かったら知っておいてくださいませ。

 

2.第一歩のオススメ

まず、第一歩としてオススメしたいのは、

数学トピックに接すること。

 

私のおすすめの本は、こちら!

 

①算数おもしろ大辞典

算数おもしろ大事典IQ 増補改訂版

算数おもしろ大事典IQ 増補改訂版

 

 小学生でも理解できる書きっぷりで、意外にも深い内容が書いてあります。

後半は、非ユークリッド幾何のことまで…

 

私は、子どもの頃、ずーーーーっと、これを眺めてました。

数学者辞典みたいなものも載っていて、それも、とっても興味深いです。

 

 

②世にも美しい数学入門

世にも美しい数学入門 (ちくまプリマー新書)

世にも美しい数学入門 (ちくまプリマー新書)

 

 「国家の品格」を書いた数学者 藤原正彦さん

博士の愛した数式」の作者 小川洋子さん

このお二方の対談本です。

 

数学の、知的好奇心をくすぐられるエピソードが、ぐぐっと詰まってます。

 

③天才数学者たちが挑んだ最大の難問ーフェルマーの最終定理が解けるまで

 みんな大好きフェルマーの最終定理

360年解けなかった難問ですが、1995年にアンドリュー・ワイルズが解決しました。

「20世紀の数学の集大成」とも言える証明。

私は、泣きながら読みました…!!!

 

③数学史ー数学5000年の歩みー

数学史 ―数学5000年の歩み―

数学史 ―数学5000年の歩み―

 

 若干専門的な本ですが、

数学史を知ってるのと、知らないのでは、数学への理解が全然違う!

 と思うので、おすすめします!!!

歴史的な背景を知っていると、納得感が2倍にも3倍にもなります。

 

***

 

他にも、一般向けの読みやすい本は色々あります!「数学ガール」とか、流行ってますよね。

「読みやすそう」と思ったものから、ぜひ手に取って、読んでみると良いんじゃないかなあって思ってます。

 

なぜ、数学トピックに触れてほしいのかと言うと、

 

●「大変かもしれないけど…これを理解してみたい!」と思える目標を持つこと

●「こういうのが好きなんだなあ」という自分の関心の傾向を知ること

 

が、数学を学んでいく上で、すごく重要になっていくと思うんです。

 

数学の学習って、正直言って、楽しいばかりではありません。

「修行かよ…」みたいな苦難もあります。時には、滝に打たれます。

 

だから、「それでも頑張ってみたい!」と思えるモチベーションを、小さくても持っていると良いのかなあって思います。

 

3.第二歩目~体系的に学ぶなら

第二歩目。

中高数学を体系的に学ぶなら、やっぱり、教科書だと思います。

数学? 文部科学省検定済教科書 東京書籍版

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  • 作者: 原常,秋山泰子,星昭輝,横山尚洋,石田哲浩,東京書籍
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 値段も安く、全面カラー。

そして、「中高で学ぶ全て」が、ここに掲載されています。

 

色々批判もあるようですが、

結局は、「全部ここに載ってる」ので、私自身も「教えるときの辞書・手引き書」として活用しています。

 

独学してる人に、ありがちなのは、

「とりあえずチャート式を買って、解く」

という方針。

 

チャート式は、あくまで問題集。

一つ一つの定理や公式に、証明は掲載されてません。

なので、「教科書に掲載されている知識」を前提としているのです。

 

 

「教科書って、つまんない」

と思ってる人が多いようですが、恐らく、「数学トピック」や「背景知識」を何も知らないから、つまらないのだと思うんです。

公式や定理の証明、問題演習を坦々とこなすだけになっちゃうので…

 

なので、「2.第一歩のオススメ」で掲載したような「一般向け数学本」を読んで、「数学トピック」や「背景知識」を蓄えた上で、教科書を読んでみてください!

 

そうすれば、「え…教科書、意外と面白い!!」ってなれると思うのです。

気になる「あのこと」や「このこと」の証明とか根拠とかが、しっかり載ってるわけですから…!!

 

***

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***

 

ひとまず、ここまで、オススメとして紹介しておきます!

また、言及することがあれば、書き足していこうと思ってます☆

 

(つづくかも) 

■参考記事

nekomath271828.hatenablog.com

nekomath271828.hatenablog.com

nekomath271828.hatenablog.com

 

数学 学習法 学び直し

 

2017/12/3 今日の数式〜呪いをほどくこと、バーゼル問題

呪いをほどく。

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呪いの言葉って、ありません?

 

私、呪いの言葉をかけられやすい人なのですが、

その中でも、恐ろしかったのが、独身のときに言われた言葉。

 

 

「あなたが将来結婚して、子どもができたとしても、子どもは、あなたに似て、ろくでもない子どもになるし、みんなからいじめられる」

 

喧嘩した、言い合いになったとか、そういうのでなく、

本当に、ふつうに、一意見として、フラットな調子で言われた言葉です。

 

客観的に考えれば、「ひどすぎる」って思うのですが、

私は、その言葉を信じてしまったんです。

 

「ああ、私の子どもは、かわいそうな人生を歩むんだ」

 

って。

呪いにかかってしまいました。

 

***

 

きのう、お子さんのいる女性に、

 

「あなたは、かわいい。私、あなたみたいな子どもを産みたい!」

 

って言われました。

おどろくほど、無邪気に。

 

「私みたいな子ども産んだら苦労しますよ!!」って、思わず言い返しちゃったんですが、

その言葉で、長年の呪いが解除されました。

 

あのときの呪いの言葉と真逆のことを言われて。

 

その方に「私に、数式ちょうだい!」と言われたので、送りました。

 

バーゼル問題の証明の途中まで。

私の大好きな証明です。

 

三角関数と、ζ関数と、素数と、円周率が、キレイな糸で、優しく、でもしっかりと、つながっていく。

 

 呪いは、解ける。絡まった糸は、ほどける。

問題が美しく解けるように。

 

 

素敵な言葉をかけてくれて、良かった。

救われた。

感謝でいっぱい。ありがとうが止まらない。

 

私も、ほどく人になりたいです。精進します。

数学Ⅱまでの知識で味わえるガロア理論!~2017年度早稲田理工の入試問題より

お久しぶりです!

最近、忙しくて、全然ブログを書けてませんでした…

(書きたいことはいっぱいあるのに…)

今回の内容は、別の機会に、詳しーーく書きたい内容なんですが…

ひとまず、どーーーーしても紹介だけしたいことがあります!!

 

最近、めちゃくちゃ感動して、夜中に大泣きしたことなんです。

 

それは、

2017年度 早稲田大学の入試問題

のこと。

 

解きながら、「うわあああ」と叫び、そして泣きました…

 

↓下記URLの(Ⅴ)です。

https://www.waseda.jp/inst/admission/assets/uploads/2016/12/262728_2017_ippan_sugaku.pdf

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難しそうに見えるかもしれませんが、数学Ⅱまでの知識があれば解けるので、

ぜひ解いてみてください!

 

 

この問題、最近お会いした数学者の方に教えてもらいました。

「感動するから、解いてみて」と。

 

実際に解いてみたら、予想以上に感動して、もう眠れなくなってしまうくらいでした。

 

 

 

なんか、もう、愛がすごいんですよ……。

 

 

以前、こんな記事を書きました。

nekomath271828.hatenablog.com

 

以下、私自身のブログ記事の引用ですが…

 

「入試問題はお手紙だ」

って思うようになりました。

 

もちろん、評価して、合否を決定する道具でもあるけれど。

 

でも、一方で、

「これから君たちの見る世界は、こんな世界だよ」

って、教えてくれているお手紙だなあって思うんです。

 

しかも、数学者の職人技で、超難しい最先端の研究を、「高校生でも触れられるカタチ」に仕立て上げるという。そんなこと、なかなかできることではありません。

 

入試問題は、愛情と贅沢の極みだなあって思います。

 

大学入試問題って、実は、「高校の後の数学」に繋がっていることが多いんです。

 

「高校の後の数学」、つまり、「大学に入ってから学ぶ数学」は、

すごく抽象的で、わけがわからなくて、「高校まで偏差値70でした!」みたいな人を、ガンガン蹴落としていきます。

 

そんな、わけがわからなくて、恐ろしいほど難しくて、

でも、美しさ、とか、夢とか、いっぱい抱えた「高校の後の数学」を、

「ほら、こんな世界だよ。ようこそ!」って、ドアを少しだけ開いてくれるのが、大学の入試問題なのです。

 

 

今回紹介した入試問題は、その要素がビシビシに入りまくった問題。

 

この入試問題の先に見えるのは、ガロア理論

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早稲田であれば、数学科の学生が、大学3年頃に学びます。

 

ガロア理論は、

「5次以上の方程式は代数的に解けない」

(5次以上の方程式の解の公式は存在しない)

ということを証明するのに使います。

 

 

問題を教えてくれた数学者から、こんなLINEが来ました。

 

「きっと、解いた子たちは、ガロア理論を習ったときに感動すると思う」

 

うん。

私も、そう思います。

 

設問に無駄がなく、

すっごくキレイで、愛情深くて、

ずっとずっと残っていく名作問題になるんじゃないかしら。

 

数Ⅱまでで、ガロア理論を味わえちゃうんだもん。

 

 

この問題の解説記事は、いつか必ず書きます!

愛が届きますように!

 

(つづきます)