のんびりmathematicー数学主婦のブログ

大学院まで数学を専攻していた主婦によるのんびりブログ

なぜ、(-1)×(-1)=1なのか?

なぜ、(-1)×(-1)=1なんですか?

 

と、とてもとてもよく聞かれます。

 

今回は、この質問を代数学的アプローチから考えてみようと思います。

(180°回転とかの説明もありますが、今回はこれで許してください。)

 

以下、それなりに数学用語を用いながら説明していくので、「わからん!」と思った部分は、勇気を持って読み飛ばしてください。

 

ねこを眺めて癒されてから、はじめていきましょう!

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1.整数とは?

そもそも、数というのは「ペアノの公理」というものから構成していきます。

まず、ペアノの公理から自然数(1,2,3,4…)を構成します。

(この辺の詳しい話は、また今度します。とりあえず、『自然数がある!存在するんだ!』と信じてください。神や仏を信じるように。おねがいします。)

 

この自然数なんですが、足し算はできても、引き算はできません。

どういうことかというと、3-5とか、2-7とか、4-4の行き先が存在しないんです。

 

これを、

 

自然数は加法で閉じているが、減法で閉じてない」

 

と言ったりします。

 

自然数は、なんとか頑張って、「減法で閉じる」つまり「引き算ができる」ものに、育っていかなくてはなりません。

そんな、自然数の健全な成長意欲から、整数が構成されます。

(この辺のことは、同値類の知識があると、なるほどー、となります。)

 

というわけで、

引き算の行き先たちが力を合わせて、

…-3,-2,-1,0,1,2,3…

という整数と呼ばれる数が生まれるのです。

 

(↓ここまでのまとめ)

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.環って知ってる?

突然ですが、整数は「環」です。

環である数は、色々と良い性質を持っているので、ナチュラルに足し算や掛け算ができるんです。

整数は、必然的に環になるべくしてなった感じかなあ、と思います。というか、環というものが、整数をモデルにしているような気がします。

おしえて頭いい人……。

ベッドタウンに住む主婦にはわからないよ……。

 

(↓環の定義はこちら。右に解説を記してみました。)

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結合法則・交換法則・分配法則で「ナチュラルに足したり掛けたりできること」を保証していて、

0の存在・マイナス元の存在・1の存在により、「キャラの濃い仲間たちがいること」を保証しています。環の世界は楽しそうですね。

 

整数は、これらの性質を全て満たしています。

よって、

 

整数は、環なのです!

整数は、環なのです!

整数は、環なのです!

(大事なことなので3回書きました。)

 

ちなみに「元」というのは、「集合を構成する個々のもの」のことです。

高校数学では「要素」と呼んでます。

集合Aを嵐とすると、二宮くんはAの元になります。

 

3.環ってスゴイ!

ハッピーなことに、環の定義から、色んなことが導けます。

特に幸せな結果は、「0は何かけても0」

(↓こちら、今回使う定理たちです。)

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※定理1は、定理2と定理3を証明するための足がかり的なものです。

 

定理2で「0に何かけても0」であることが示されてます。

定理3で「ある数に対応するマイナス元は、たった一つだけ」であることが示されてます。

 

簡易的ですが、手書きで証明を書いてみたので、心が元気なときに読んでみてください!

 

4.(-1)×(-1)=1の証明

これで色々揃ったので…

証明していきましょう!いざ!

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できましたね!

環の定義や、定理を駆使しましたね!!

 

お疲れ様でしたー!

 

間違いや、論理として手薄いところがあったら、教えてくださいませ。

(数学者ではないので、可能な範囲ですが、前向きに直します。)

 

そして、手書きで読みにくくて、ごめんなさい。絵とか入れたくて思わず…

 

でも、はてなブログTex書けるとの噂!

てふー てふー