のんびりmathematicー数学主婦のブログ

大学院まで数学を専攻していた主婦によるのんびりブログ

自然数と遊ぼう①〜2進数編

最近、こんな問題を子どもたち含め、色んな人に解いてもらいました。

怪しげな手書き数列問題です。

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物議を醸した問題は、⑩!!

 

良かったら、じっくり考えてみてくださいね。

四則演算ができれば、解けます。

 

私の周りの理系陣は、見た瞬間に解いてました。

 

理系陣でない人たちには、ヒントを出しながら解いてもらったのですが、

「こんなの絶対わかるわけない。難しすぎる。」

と、私は怒られてしまいました。みんな、ごめん。

 

何で理系陣は見た瞬間に解けてしまうのかというと、

「2進数に慣れているから」

です。

 

頭の良さとかは関係なく、単純に慣れだと思います。

 

どういうことなのか、解説していきますね!

ねこに癒されてから、はじめていきましょう!

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1.「進数」ってなに?

日頃、無頓着になってしまいがちですが、私たちは「10進数」というものを使って生活しています。

 

10進数とは、

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 

という、10種類の数を、組み合わせながら色んな数を表現することです。

 

ポイントは「繰り上がり」です。

 

例えば、9 の次の数は10ですよね。

当たり前に見える事実ですが、これは、

「使える数が9までしかないから、次の数を示すためには、繰り上がって10と表記する」

というルールに基づいています。

 

「0~9までの数を組み合わせて、色んな数を表現する」という素晴らしい文化です。

「みんなこうする」というメインカルチャーです。メインストリームです。

 

大多数が10進数を使っているのは、まごうことなき事実ではありますが、

必ずしも、その文化に従わなくて良いわけですよ。

 

カウンターカルチャーだ!少数派の意見を聞きやがれ!アンチ10進数!

というアバンギャルドな気持ちになったって、良いわけです!!

ロックです!!これこそロック!!!前衛だーーーー!!

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というわけで、もし、

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A

という11種類の数を使って良いならば、9の次の数はAとしてしまって、良いのです。

Aの次の数になると、繰り上がって、やっと10になります。

つまり、私たちが普段「11」だと思っているものを、「10」と表記することになるのです。

ちょっと、不思議だし、慣れないのですが、これが11進数です。

不思議だけど、アバンギャルドなので、これで良しとしましょう。

 

他にも、

0、1、2、3

という4種類しか数が使えないならば、3の次の数は、繰り上がって10になります。

つまり、私たちが普段「4」だと思っているものを、「10」と表記することになります。

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ちょっと、不思議だし、慣れないのですが、これが4進数です。

不思議だけど、ロックなので、これで良しとしましょう。

 

「え…何言ってるか、わからん…」と思った人は、

とりあえずのイメージとして、こんな風に考えてみてください。

 

「ルールが変わったから、呼ばれ方が変わった」みたいな感じです。

 

「吉田あきお」という人が、職場では「課長」と呼ばれ、同級生からは「よっしー」と呼ばれ、家では「お父さん」と呼ばれているような。

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全部同一人物ですが、場面によって、キャラや役割が変わるので、呼ばれ方が変わります。

 

そんな風に「4」という数が、10進数では「4」と呼ばれているけれど、4進数では「10」と呼ばれているのです。

ちなみに、2進数では「100」になります。

 

2.噂の2進数

2進数とは、

0、1

という2種類の数を組み合わせながら、色んな数を表現することです。

 

2進数慣れしていない人たちにとっては、衝撃的な繰り上がり方、桁の上がり方をしていきます。

 

まず、「0」と「1」はそのままです。

しかし、10進数で「2」と表現される「1の次の数」は、0と1しか使えないので「10」になります。

 

10進数で「3」と表現される「2の次の数」は、「10」に「1」を加えて「11」。

10進数で「4」と表現させる「3の次の数」は、「11」に「1」を加えるのですが、「2」を使えないので、繰り上がって「100」となります。

 

「え…全然わからん…もういやだ…」という人は、「吉田あきお」のことを思い出してください。

 

ふだんは「課長」と呼ばれているけれど、同級生から「よっしー」と呼ばれている。

呼び名が変わっただけで、あきおのアイデンティティは変わりません。

 

ふだん(10進数)は「4」と呼ばれているけれど、別のとき(2進数)は「100」と呼ばれている。

呼び名が変わっただけで、「10進数で4と呼ばれている数」のアイデンティティは変わりません。

 

「ちょっと悔しい。わかってみたい…」という人は、自分で手を動かして、計算してみると「あー、そういうことね」とわかると思います。

0と1しか使えないので、「2」と書きたくなっちゃうところでグッ我慢して、繰り上がる感じです。ぜひ、やってみてください。できます、できます。

 

【やってみよう☆】

10進数で、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10と表されている数を、2進数で表現してみよう!

 

正解がてら、10進数と2進数の対応表を載せておきます。

10進数 2進数
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
16 10000

なかなかスゴイ桁の上がり方をしてますね。

そして久々にHTML書いたぜ…

  

3.なんで理系陣は2進数に強いの!?

この2進数に、理系陣は強いです。

ちなみに、私の数学科時代の友人は、10進数で8桁くらいの数を、5秒くらいで2進数で表現します。「ノイマンか…」と思います。

 

とにかく、そのくらい強いです。

 

2進数に強い理由は様々だと思いますが、一番の理由はコンピュータです。

 

よく「コンピュータは0と1で全てが表現されている…!!」と言われるように、ON/OFFなどの2種類で表現されるデジタルなデータを用いるので、2進数をよく使うんです。

(昔、エンジニアだったのに、この辺いまいちわかってないのはヒミツ…)

 

よくパソコン買うときに「32ビット」とか「64ビット」とか言いません?

あと、良かったら「USBメモリ 容量」とかで、ぐぐって調べてみてほしいです。どんな数値が出てきました?MBとかGBとか。

 

恐らく、

2、4、8、16、32、64、128、256、512

というような数がでてきたと思います。

どんどん2倍してる数。(ちょっと難しい言い方をすると、2のべき乗)

「なに、この中途半端な偶数たち」って感じがします。

 

しかし、これらを、2進数の表現で書くと、

10、100、1000、10000、100000、

1000000、10000000、100000000、1000000000

というスーパーキリの良い数になります。

 

ふだん、私たちが10進数を使っているときは、10や100や1000や10000を「キリが良い数」として認識します。それぞれ、硬貨やお札がありますよね。

でも、2進数としては、(10進数でいうところの)2や4や8や16が「キリが良い数」なのです。

 

だから、コンピュータ関連機器の容量等は、「デジタルとしてキリが良い数」である「2、4、8、16、32、64、128、256、512」になっているのです。

 

「え…全然わからん…もういやだ…」と思った人は、もう一度「吉田あきお」と、あきおの部下である「鈴木くん」のことを考えてみましょう。

吉田あきおは、とても仕事のできる課長です。とても信頼されています。

一方、鈴木くんは新人。あきおに怒られながら、日々頑張っています。

 

ですが、ですが…この鈴木くん、

超絶イケメンなのです。ほぼ福士蒼汰です。

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一方、吉田あきおは、若干ざんねんなおじさまです。

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なので、職場の女子陣は、トイレでの化粧中などに「鈴木くん、まじ王子~♡今日も素敵~♡」と言い、「吉田さー、ちょっとないよねー」と言います。

(ひどいですね。私は、そんな人にならないぞ)

 

というわけで、

「吉田あきお」は、仕事の場では「尊敬されるスーパー課長」ですが、女子市場では「残念気味なおじさん」です。

「鈴木くん」は、仕事の場では「まだまだ頼りない新人」ですが、女子市場では「王子さま♡」です。

 

こんな風に、環境や場のルールによって、そのものの「特別さ」「良さ」はコロッと変わってしまいます。

 

10進数での「100」という数は、「キリの良い数」ですが、2進数では「1100100」と表現され、「ちょっとなんとも言えない数」になります。

一方、10進数での「8」という数は、「ちょっとなんとも言えない数」ですが、2進数では「1000」となり、「キリの良い数」になります。

 

多くの理系の人たちは、「10進数のキリの良い数」・「2進数のキリの良い数」両方を頭に入れているのです。

 

なので、10進数での

2、4、8、16、32、64、128、256、512

 を見て「あ、キリが良い数だ」と即座に感じられます。

 

「吉田あきお」の良さも、「鈴木くん」の良さも、両方を感じられているように。

 

5.最初の問題の正解は!?

結局、最初の問題の正解を言ってませんでしたが、

10進数と2進数の対応表を眺めながら、改めて考えてみてください!

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長くなってしまったので、

次回以降に正解を書きつつ、⑩の数たちの「楽しい遊べる性質」を語っていこうと思います! 

 

↓ちなみにヒントは、この記事です!

nekomath271828.hatenablog.com

 

(つづきます)

 

2進数 解説