のんびりmathematicー数学主婦のブログ

大学院まで数学を専攻していた主婦によるのんびりブログ

【三角比】sin cos tanと仲良くなろう③~これで、あなたもタンジェント博士!?

 三角比の解説、第三弾です!!

 

第一弾・第二弾は、こちらです。

続きものなので、お時間があるときに、じっくり読んでみてください☆

nekomath271828.hatenablog.com

 

nekomath271828.hatenablog.com

 

ねこに癒されてから、はじめていきましょう!

 

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0.前回までのあらすじ

【宿題】

あなたの家の庭に大きな木があるとします。大人でも、見上げるくらいの大きさがあります。その木の高さが何メートルか知りたいです。あなたはどうしますか?

※できるだけ現実的かつ汎用性の高い(色んなケースに対応できる)答えを探してみてください!

 

を、考え続けてきました。

 

色んな解答があると思いますが、ひとまずの正解は…

「仰角」「直角三角形の相似」を用いた方法です。

 

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実は、上に出てくる直角三角形の「高さ/底辺」がtanに対応していて、

 

 \tan27^\circ\fallingdotseq \frac{1}{2}

 

なのです。

 

ちなみに、こういった技術は、「測量術」(地図を描く技術)に役立ちます。

 

1.新しい言葉が増えるとき

急に本論からズレます。すみません。

 

「言葉」って、何だろう…と怪しげに考えたときに、こんなことを思いつきました。

 

「毎回毎回、説明するのが面倒になると、言葉(単語)が増えるのではないか」

 

と。

 

言語学のことは、詳しくわからないので、日常での実感レベルでお話をしていきますね。(こういったことに詳しい方がいたら、教えてほしいです!)

 

実は、私、「子どもと若者の居場所」のようなところで働いています。そこには大きな公園のようなところが併設してるんですね。

だから、すごく「外遊び」が充実しています。

毎日「おにごっこしよー!」の声が、あちこちから飛んでくるのを聞いて、なんだか幸せな気持ちになります。

 

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この「おにごっこ」って、日本人の多くが「ああ、あれかー」ってなる遊びだと思うんですが、説明するとなると、案外大変です。

 

以下、wikipediaからの引用です。

鬼ごっこ - Wikipedia

 

狭義の鬼ごっこのルールは、次のようなものになる。

鬼ごっこは2人以上の参加者によって行われ、1人のオニ(親ともいう)と残りの子に分かれる。最初の鬼はじゃんけんなどによって定めることが多い。

スタートと同時に、子は一斉にオニから遠く離れるべく逃げ出す。オニは一定時間(これは開始に先立って参加者間で定められる。たとえば「10数える間」など)その場にとどまり、その後で子を追いかける。オニ・子ともに移動は自由だが、逃げる範囲(開始前に「この公園の中」など明確に定められるか、あるいは漠然と不文律的に定められている)を逸脱することは禁じられている。また、自転車などの乗り物の利用や絶対的にオニが子にタッチできない状態をつくる(例えば屋内での鬼ごっこであれば一部屋に鍵を掛けて立て籠もるなど)ことは禁じられている。オニは子の体の一部分に触れることで子を捕まえることができる。捕まった子は新たにオニとなり、捕まえたオニは新たに子となる。これを繰り返すことでゲームは進行する。

 

これ、「毎回言いたくないなあ」って感じしますよね。

 たぶん、「人生で初めて、おにごっこをしたとき」は、誰かが、それとなく説明してくれたんだと思うんですが、それ以降は「おにごっこやろーぜー」で通じ合えます。

 

 

もし、この世の中に「おにごっこ」という言葉が存在しない場合に、「おにごっこ」の話を持ち出したいときは、

「2人以上の参加者によって行われ、1人のオニ(親ともいう)と残りの子に分かれる。最初の鬼はじゃんけんなどによって定めることが多い。スタートと同時に、子は一斉にオニから遠く離れるべく逃げ出す。オニは一定時間(これは開始に先立って参加者間で定められる。たとえば「10数える間」など)その場にとどまり……という遊び」 

と、長々説明しなくてはならないという、なかなか大変な事態に陥ります。

 

しかも「おにごっこ」って、とっても魅力的な遊びだから、何度もやりたくなっちゃう。

 

でも、

「2人以上の参加者によって行われ、1人のオニ(親ともいう)と残りの子に分かれる。最初の鬼はじゃんけんなどによって定めることが多い。スタートと同時に、子は一斉にオニから遠く離れるべく逃げ出す。オニは一定時間(これは開始に先立って参加者間で定められる。たとえば「10数える間」など)その場にとどまり、その後で子を追いかける。オニ・子ともに移動は自由だが、逃げる範囲(開始前に「この公園の中」など明確に定められるか、あるいは漠然と不文律的に定められている)を逸脱することは禁じられている。また、自転車などの乗り物の利用や絶対的にオニが子にタッチできない状態をつくる(例えば屋内での鬼ごっこであれば一部屋に鍵を掛けて立て籠もるなど)ことは禁じられている。オニは子の体の一部分に触れることで子を捕まえることができる。捕まった子は新たにオニとなり、捕まえたオニは新たに子となる。これを繰り返すことでゲームは進行するっていうゲームやろうぜ!」 

っていう説明、絶対何度もしたくありません。疲れちゃいます。

聞いてる方も、「もういいよ…」ってなっちゃいます。

 

だから、

「2人以上の参加者によって行われ、1人のオニ(親ともいう)と残りの子に分かれる。最初の鬼はじゃんけんなどによって定めることが多い。スタートと同時に、子は一斉にオニから遠く離れるべく逃げ出す。オニは一定時間(これは開始に先立って参加者間で定められる。たとえば「10数える間」など)その場にとどまり、その後で子を追いかける。オニ・子ともに移動は自由だが、逃げる範囲(開始前に「この公園の中」など明確に定められるか、あるいは漠然と不文律的に定められている)を逸脱することは禁じられている。また、自転車などの乗り物の利用や絶対的にオニが子にタッチできない状態をつくる(例えば屋内での鬼ごっこであれば一部屋に鍵を掛けて立て籠もるなど)ことは禁じられている。オニは子の体の一部分に触れることで子を捕まえることができる。捕まった子は新たにオニとなり、捕まえたオニは新たに子となる。これを繰り返すことでゲームは進行するゲーム」=「鬼ごっこ」

と呼びことにしてしまえば、みんな幸せになれますよね。

 

そんなわけで、

「ええい!面倒くさい!もう、新しい言葉をつくってしまえ!!」

という気持ちをベースに、新しい言葉が増えるのではないかなあ…と、私は予想しているのです。

 

2.昔の測量士さん

数学の話に変わります。

 

前回の記事で、突然に、

 \tan27^\circ\fallingdotseq \frac{1}{2}

と、書いちゃいました。

 

(↓詳しくはこちら)

【三角比】sin cos tanと仲良くなろう②~木の高さは? - のんびりmathematicー数学主婦のブログ

 

「うわああああ!!出たタンジェント!!意味わからん!!!」

と、拒絶反応を示した人もいたかもしれないんですが、

ここで、ちょっと、昔の「測量士さん」の気持ちになってみましょう。

 

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まだ、地図が完成していない時代…

あなたは「色んな高~いモノの高さを測る技術者」だとします。今で言う「測量士さん」のような人です。

一人では大変なので、3人チームで「高さを測る」という仕事をしています。

 

日々、たくさんの「丘の高さ」「山の高さ」「家の高さ」等を測るお仕事。なかなか大変です。

毎回毎回、「仰角」「観測者と対象までの長さ」を測って、「直角三角形の相似」を使って計算していきます。

 

あなたとAさんは、「仰角&長さを測る」係

Bさんは「紙に直角三角形を描いて、”高さ/底辺”を計算する」係

だったとします。

 

恐らく、あなたとAさんは、Bさんに、

「仰角27°だったよ。直角三角形の”高さ/底辺”を計算して!」

というように、依頼するはずです。

 

この依頼は、

「仰角43°だったよ。直角三角形の”高さ/底辺”を計算して!」

「仰角38°だったよ。直角三角形の”高さ/底辺”を計算して!」

「仰角20°だったよ。直角三角形の”高さ/底辺”を計算して!」

「仰角57°だったよ。直角三角形の”高さ/底辺”を計算して!」

 みたいな感じで、色んなバリエーションがあると思います。

 

これ、全部、「角度」のところ以外、完全に同じ文章ですよね。

(事実、上のセリフは、コピペしまくって書きました)

 

毎回毎回、同じこと言うのって面倒です。

 

なので、もう、これ全部、

「tan27°、計算して!」

「tan43°、計算して!」

「tan38°、計算して!」

「tan20°、計算して!」

「tan57°、計算して!」

って、言っちゃった方が、省エネです。

言う方にとっても、聞く方にとっても、幸せです。

 

それは「おにごっこ」を、長々説明しなくて済むってことに似ています。

 

というわけで、

tanっていうのは、こういうモノなのです。

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(三角比における)タンジェントとは、

あなたとAさんが「角度」の情報を伝えたときに(インプット)

Bさんが計算してくれる「直角三角形の”高さ/底辺”」のことです(アウトプット)

 

ちょっと先回りしてしまいますが、

この「何かインプットを与えたら、アウトプットが出てくる」というのは、まさに関数の考え方です。これが、三角関数に繋がっていきます。

 

また「三角比における」と、かっこを付して書いたのには理由があります。

三角関数におけるタンジェント」は一味違うからです。これは、また三角関数の回にお話します!

 

 

昔の「測量士さん」は、きっと、

色んなモノの高さを測るために、この「直角三角形の”高さ/底辺”」を、頻繁に使ったのだと思います。

 

 

「仰角測ったよ!tan27°計算しといて~」

「おっけー!……お、だいたい1/2だね」

「了解!ありがとー!」

 

という、「測量士さん」の声が聞こえてきそうです。

 

3.宿題!~「直角」って、なんで多いの?

キリが良いので、今回はこの辺までにしておいて…

「宿題」を出します!!

 

【宿題】

なぜ、私たちの身の周りって「直角」が多いのでしょうか?

 

良かったら、身の周りのものを見まわしてほしいんですが…

「直角」、多くないですか?

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テーブルとか、テレビとか、パソコンとか、その画面とかも。

角度って色々あるのに、やたら「直角」が多いのは、考えてみれば不思議です。

 

 

この宿題って、たぶん色んな「答え」があると思います。

良かったら、じっくり考えてみてください!

 

(つづきます)

 三角比 解説